Kas yra sąskambis?

Ankstesnėje pastaboje sužinojome, kaip veikia garsas. Pakartokime šią formulę:

GARSAS = ŽEMĖS TONAS + VISI KELI OVERTONAI

Be to, kaip japonai žavisi vyšnių žiedais, taip pat grožėsimės ir dažninio atsako grafiku – garso amplitudės-dažnio charakteristika (1 pav.):

Prisiminkite, kad horizontalioji ašis žymi aukštį (svyravimo dažnį), o vertikali ašis – garsumą (amplitudę).

Kiekviena vertikali linija yra harmonika, pirmoji harmonika paprastai vadinama pagrindine. Harmonikos išdėstomos taip: antroji harmonika yra 2 kartus aukštesnė už pagrindinį toną, trečioji – trys, ketvirta – keturi ir t.t.

Trumpumo dėlei vietoj „dažnumo nth harmonic“ mes tiesiog pasakysime „nth harmonic“, o vietoj „pagrindinio dažnio“ – „garso dažnis“.

Taigi, žvelgiant į dažnio atsaką, mums nebus sunku atsakyti į klausimą, kas yra sąskambis.

Kaip skaičiuoti iki begalybės?

Konsonansas pažodžiui reiškia „bendras skambėjimas“, bendras skambėjimas. Kaip du skirtingi garsai gali skambėti kartu?

Nubraižykime juos toje pačioje diagramoje vieną po kitos (2 pav.):

Štai atsakymas: kai kurių harmonikų dažnis gali sutapti. Logiška manyti, kad kuo labiau sutampa dažniai, tuo daugiau „įprastų“ garsų, taigi, tuo daugiau tokio intervalo skambesio suderinamumo. Tiksliau sakant, svarbu ne tik sutampančių harmonikų skaičius, bet ir kokia dalis visų skambančių harmonikų sutampa, tai yra, atitikmenų skaičiaus ir bendro skambančių harmonikų skaičiaus santykis.

Gauname paprasčiausią sąskambių skaičiavimo formulę:

kur N_sovp yra suderinamų harmonikų skaičius,  N_bendras yra bendras skambančių harmonikų skaičius (skirtingų skambėjimo dažnių skaičius), ir trūkumus ir yra mūsų norimas sąskambis. Kad būtų matematiškai teisinga, geriau vadinti kiekiu dažnio konsonanso matas.

Na, reikalas mažas: reikia skaičiuoti N_sovp и N_bendras, padalinkite vieną iš kito ir gaukite norimą rezultatą.

Vienintelė problema yra ta, kad tiek bendras harmonikų skaičius, tiek net atitinkančių harmonikų skaičius yra begalinis.

Kas atsitiks, jei begalybę padalinsime iš begalybės?

Pakeiskime ankstesnės diagramos mastelį, „nutolkime“ nuo jos (3 pav.)

Matome, kad derančios harmonikos atsiranda vėl ir vėl. Paveikslas kartojamas (4 pav.).

Šis pakartojimas mums padės.

Mums pakanka apskaičiuoti santykį (1) viename iš punktyrinių stačiakampių (pavyzdžiui, pirmame), tada dėl pasikartojimų ir visoje eilutėje šis santykis išliks toks pat.

Paprastumo dėlei pirmojo (žemesnio) garso pagrindinio tono dažnis bus laikomas lygiu vienybei, o antrojo garso pagrindinio tono dažnis bus parašytas kaip neredukuojama trupmena  .

Skliausteliuose pažymėkime, kad muzikinėse sistemose, kaip taisyklė, naudojami būtent garsai, kurių dažnių santykis išreiškiamas kokia nors trupmena  . Pavyzdžiui, penktos intervalas yra santykis  , kvortai –  , tritonas -   ir taip toliau

Apskaičiuokime santykį (1) pirmojo stačiakampio viduje (4 pav.).

Gana lengva suskaičiuoti atitinkančių harmonikų skaičių. Formaliai jų yra du, vienas priklauso apatiniam garsui, antrasis – viršutiniam, 4 pav. jie pažymėti raudonai. Bet abi šios harmonikos skamba atitinkamai tuo pačiu dažniu, jei suskaičiuosime atitinkančių dažnių skaičių, tada toks dažnis bus tik vienas.

Koks yra bendras garso dažnių skaičius?

Pasiginčykime taip.

Visos žemesniojo garso harmonikos yra išdėstytos sveikais skaičiais (1, 2, 3 ir tt). Kai tik bet kuri viršutinio garso harmonika yra sveikasis skaičius, ji sutaps su viena iš apatinių harmonikų. Visos viršutinio garso harmonikos yra pagrindinio tono kartotiniai , taigi dažnis n- harmonika bus lygi:

tai yra, tai bus sveikasis skaičius (nes m yra sveikasis skaičius). Tai reiškia, kad viršutinis garsas stačiakampyje turi harmonikų nuo pirmojo (pagrindinio tono) iki n- O, vadinasi, garsas n dažniai.

Kadangi visos apatinio garso harmonikos yra sveikaisiais skaičiais ir pagal (3), pirmasis sutapimas įvyksta dažniu m, pasirodo, kad duos apatinis garsas stačiakampio viduje m skambėjimo dažniai.

Reikėtų pažymėti, kad sutampantis dažnis m mes vėl skaičiavome du kartus: kai skaičiavome viršutinio garso dažnius ir kai skaičiavome apatinio garso dažnius. Tačiau iš tikrųjų dažnis yra vienas, o norint gauti teisingą atsakymą, mums reikės atimti vieną „papildomą“ dažnį.

Visų stačiakampio viduje esančių garso dažnių suma bus tokia:

Pakeitę (2) ir (4) į formulę (1), gauname paprastą išraišką sąskambiui apskaičiuoti:

Norėdami pabrėžti, kurių garsų sąskambius apskaičiavome, šiuos garsus galite nurodyti skliausteliuose trūkumus:

Naudodami tokią paprastą formulę galite apskaičiuoti bet kurio intervalo sąskambią.

O dabar panagrinėkime kai kurias dažnio sąskambių savybes ir jo apskaičiavimo pavyzdžius.

Savybės ir pavyzdžiai

Pirmiausia apskaičiuokime paprasčiausių intervalų sąskambius ir įsitikinkime, kad (6) formulė „veikia“.

Kuris intervalas yra paprasčiausias?

Tikrai prima. Dvi natos skamba vieningai. Diagramoje tai atrodys taip:

Matome, kad absoliučiai visi skambėjimo dažniai sutampa. Todėl sąskambis turi būti lygus:

Dabar unisoną pakeiskime santykiu  į formulę (6) gauname:

Skaičiavimas sutampa su „intuityviu“ atsakymu, kurio ir reikia tikėtis.

Paimkime kitą pavyzdį, kuriame intuityvus atsakymas toks pat akivaizdus – oktava.

Oktavoje viršutinis garsas yra 2 kartus didesnis nei apatinis (pagal pagrindinio tono dažnį), atitinkamai, grafike jis atrodys taip:

Iš grafiko matyti, kad kas antra harmonika sutampa, ir intuityvus atsakymas yra: sąskambis yra 50%.

Apskaičiuokime pagal (6) formulę:

Ir vėl, apskaičiuota vertė yra lygi „intuityviam“.

Jei natą laikysime apatiniu garsu į ir nubrėžkite visų oktavos intervalų sąskambių reikšmę grafike (paprasti intervalai), gauname tokį vaizdą:

Didžiausi sąskambių matai yra oktavoje, penktoje ir ketvirtoje. Istoriškai jie vadino „tobulus“ sąskambius. Mažoji ir didžioji terceta bei mažoji ir didžioji šeštoji yra šiek tiek žemesnės, šie intervalai laikomi „netobulais“ sąskambiais. Likę intervalai turi žemesnį sąskambio laipsnį, tradiciškai priklauso disonansų grupei.

Dabar išvardijame kai kurias dažnio sąskambio mato savybes, kurios gaunamos iš jo skaičiavimo formulės:

1. Kuo sudėtingesnis santykis  (kuo daugiau skaičių m и n), tuo intervalas mažiau priebalsis.

И m и n (6) formulėje yra vardiklyje, todėl šiems skaičiams didėjant sąskambių matas mažėja.

2. Intervalo sąskambis aukštyn lygus intervalo sąskambiui žemyn.

Norėdami gauti intervalą žemyn, o ne aukštyn, mums reikia santykio   keistis m и n. Tačiau (6) formulėje nuo tokio pakeitimo visiškai niekas nepasikeis.

3. Intervalo dažnio konsonanso matas nepriklauso nuo to, iš kokios natos mes jį statome.

Jei abi natas perkeliate tuo pačiu intervalu aukštyn arba žemyn (pavyzdžiui, kvintą sukurkite ne iš natos į, bet iš užrašo re), tada santykis  tarp natų nesikeis, todėl dažnio sąskambių matas išliks toks pat.

Galėtume pateikti kitų sąskambių savybių, bet kol kas apsiribosime jomis.

Fizika ir dainų tekstai

7 paveikslas leidžia suprasti, kaip veikia sąskambis. Bet ar tikrai taip suvokiame intervalų sąskambią? Ar yra žmonių, kurie nemėgsta tobulų sąskambių, bet labiausiai disonansinės harmonijos atrodo malonios?

Taip, tokių žmonių tikrai yra. Ir norint tai paaiškinti, reikėtų išskirti dvi sąvokas: fizinis sąskambis и suvokiamas sąskambis.

Viskas, ką mes aptarėme šiame straipsnyje, yra susiję su fiziniu sąskambiu. Norėdami jį apskaičiuoti, turite žinoti, kaip veikia garsas ir kaip susidaro skirtingos vibracijos. Fizinis sąskambis suteikia prielaidas suvokiamam sąskambiui, bet neapsprendžia jo 100%.

Suvokiamas sąskambis nustatomas labai paprastai. Žmogaus klausiama, ar jam patinka šis sąskambis. Jei taip, tada jam tai yra sąskambis; jei ne, tai disonansas. Jei jam palyginimui duoti du intervalai, tai galime sakyti, kad vienas iš jų žmogui šiuo metu atrodys labiau priebalsis, kitas – mažiau.

Ar galima apskaičiuoti suvokiamą sąskambią? Net jei manysime, kad tai įmanoma, tai šis skaičiavimas bus katastrofiškai sudėtingas, į jį bus įtraukta dar viena begalybė – žmogaus begalybė: jo patirtis, klausos ypatybės ir smegenų gebėjimai. Su šia begalybe susidoroti nėra taip paprasta.

Tačiau tyrimai šioje srityje tęsiasi. Visų pirma, kompozitorius Ivanas Soshinsky, maloniai teikiantis garso medžiagą šioms natoms, sukūrė programą, su kuria galite sukurti individualų kiekvieno žmogaus sąskambių suvokimo žemėlapį. Šiuo metu kuriama svetainė mu-theory.info, kurioje kiekvienas gali pasitikrinti ir sužinoti savo klausos ypatybes.

Ir vis dėlto, jei yra suvokiamas sąskambis ir jis skiriasi nuo fizinio, kokia prasmė pastarąjį skaičiuoti? Šį klausimą galime performuluoti konstruktyviau: kaip šios dvi sąvokos yra susijusios?

Tyrimai rodo, kad koreliacija tarp vidutinio suvokiamo sąskambio ir fizinio sąskambio yra maždaug 80 proc. Tai reiškia, kad kiekvienas žmogus gali turėti savo individualių savybių, tačiau garso fizika labai prisideda prie sąskambio apibrėžimo.

Žinoma, moksliniai tyrimai šioje srityje dar tik pačioje pradžioje. O kaip garso struktūrą paėmėme gana paprastą daugialypių harmonikų modelį, o sąskambių skaičiavimui naudojome patį paprasčiausią – dažnį, ir neatsižvelgėme į smegenų veiklos ypatumus apdorojant garso signalą. Tačiau faktas, kad net ir naudojant tokius supaprastinimus buvo pasiektas labai didelis teorijos ir eksperimento koreliacijos laipsnis, labai džiugina ir skatina tolesnius tyrimus.

Mokslinio metodo taikymas muzikos harmonijos srityje neapsiriboja vien sąskambių skaičiavimu, duoda ir įdomesnių rezultatų.

Pavyzdžiui, mokslinio metodo pagalba muzikinė harmonija gali būti vaizduojama grafiškai, vizualizuojama. Kaip tai padaryti, pakalbėsime kitą kartą.

Autorius – Romanas Oleinikovas